సార సంగ్రహ గణితము-పావులూరి మల్లన.

ఇది 11 వ శాతాబ్దములోనే తెలుగులో రచింపడిన మొట్టమొదటి గణిత శాస్త్రము. ఇందులో 10 విధములగు గణితములైన,

పరికర్మ గణితము, భిన్న గణితము, ప్రకీర్ణ  గణితము, త్రైరాశిక గణితము, మిశ్ర గణితము, సూత్ర గణితము, క్షేత్ర గణితము, సువర్ణ గణితము, ఖాత గణితము మరియు గణితము అన్న 10 విభాగములు కలవు. ఇందు లభ్యమైన రెండింటికి మాత్రమే శ్రీయుతులు గొట్టుముక్కల సుబ్రహ్మణ్య శాస్త్రిగారు లఘు వ్యాఖ్యానము వ్రాసినారు. 3 వ ప్రకరణము లభ్యము అని పెద్దలద్వారా విన్నాను. మిగతా 7 భాగములు మన నిర్లకష్యమునకు గురియైనవి.అని చెప్పుటకు సిగ్గుపడుచున్నాను.

సార సంగ్రహ గణితము-పావులూరి మల్లన.
https://cherukuramamohan.blogspot.com/2019/08/blog-post_27.html

పై శీర్షికను గూర్చి తెలుపుట ప్రారంభించుటకు ముందు ఇద్దరు ముఖ్యమయయిన వ్యక్తులను గూర్చి తెలుపుట నా బాధ్యత లేక కర్తవ్యము. అందులో ఒకరు నాకు అనుజ సమానుడు చప్పిడి నీలకంఠా రెడ్డి గారు. రెండవ వ్యక్తి నేను నా జ్యేష్ట భ్రాతగా పరిగణించే గొట్టుముక్కల సుబ్రహ్మణ్య శాస్త్రిగారు.

ముందు నీలకంఠా రెడ్డిని గూర్చి నాలుగు మాటలు చెబుతాను. నేను ఎప్పుడూ, నేను నమ్మిన నీలకంఠుడే, నీలకంఠా రెడ్డి రూపములో నాకు అండదండగా ఉంటున్నాడని మనసారా నమ్ముతాను. నేను కష్టములో ఉన్న ప్రతిసారీ తన సహాయమును అందిస్తాడు. బహుశ తన సహాయము లేకుండా నేను దాటినా కష్టము లేదేమో! బాగా తెలిసినవాడై ఉండి కూడా తెలియనట్లే మసలుతాడు.అవసరమున్నపుడు తప్ప అసలు మాట్లాడడు. ఆతని మంచితనమును గూర్చి పై శీర్షిక సంబంధముగా ఒక చిన్న ఉదాహరణ తెలియజేస్తాను.

పావులూరి మల్లన గణిత సార సంగ్రహము అన్న గణిత గ్రంధమును వ్రాసినట్లు చరవాణిలో మేము మాట్లాడుకొను సమయములో చెప్పియుండినాను. ఆ మాట ఆయన మనస్సులో చేరగకుండా వుండినదని, ఆ విషయమై ఆయన, దూరభాషణమున తానూ తెలిపే వరకూ నాకుతెలియదు. ఒకరోజు చరవాణిలో తానూ గ్రంధాలయమునకు వెళితే పై పుస్తకము లభించగా తాను సభ్యుడు కాబట్టి ఇంటికి తెచ్చినట్లు చెప్పి దాని నకలును నాకు పంపుతానని చెబుతూ ఆగ్రంధమునకు వ్యాఖ్యానమును వ్రాసిన సుబ్రహ్మణ్య శాస్త్రిగారి అనుమతి తీసుకొంటే బాగుంటుందేమోనని తెలియజేసినాడు. ఎంతటి సంస్కారమో గమనించండి. తెలుపకుండా నకళ్ళు తీసుకొనుటవల్ల పొందే నష్టము లేకున్నా ఎపనయినా సాప్రదాయబద్ధముగా ఉండవలెనను ఆయనయొక్క సుమసుకుమార సౌమనస్యత తెలుపుతూవుంది. నేను శాస్త్రి గారి అనుమతి గైకొని తెలియబరచుటయే ఆలస్యము పుస్తకము రెండు రోజులలో నా తలుపు తట్టినది. ఇక్కడ గమనించవలసినది ఏమిటంటే నాకు తెలుపకనే తాను చదివి వాపసు చేయవచ్చు. కానీ అట్లుచేయక దాని ప్రతిని, నాకు చేరే వరకూ తానే ఖర్చు భరించి పంపిన ఆయన మనస్తత్వము నెమరు వేసుకొన్నపుడు నా కనులు నిజముగా చెమర్చినవి.

ఇక గొట్టుముక్కల సుబ్రహ్మణ్య శాస్త్రిగారిని గూర్చి నాలుగు మాటలు. ఆయన నంద్యాల ప్రభుత్వ పాఠశాల విశ్రాంత ఉన్నతాంధ్ర ఉపాధ్యాయుడేగానీ 6 భాషలలో అనర్గళమైన పండితుడు. ఆయన ఏ పాఠశాలలో చదివినాడో పదవీవిరమణ చేసే వరకూ ఆ పాఠశాలకే అంకితమైపోయినాడు, అటు విద్యార్థిగా ఇటు ఉపాధ్యాయునిగా. ప్రధానోపాధ్యాయుడు మొదలుకొని ప్రతి విద్యార్థీ ఆయనను గౌరవించేవారేగానీ ఆయన కేవలము ఆంధ్రోపాధ్యాయుడే కదా అన్న నేటి తరహా హీనమైన ఆలోచన వారి దరిదాపులకు రాలేదు, ఆయన ఇవ్వనూలేదు. శాస్త్రిగారి సహకారములేకుండా ఆంధ్రభాషలో Doctorate పొందినవారు ఆప్రాంతములో బహు అరుదు. అంతటి ప్రజ్ఞాపాటవాలు కలిగియుండికూడా ఏనాడు ఈషణ్మాత్రము కూడా అహంకారము చూపని అత్యుత్తముడు. మరొక ఆశ్చర్యకరమైన విషయము ఏమిటంటే వారు నాకు పరిచయమై ఐదు సంవత్సరములైనా ఇంతవరకు నేను ఆయనను చూసిందిలేదు. సంభాషణ అంతా చరవాణిలోనే! అయినా ఎప్పటినుండియో పరిచయము ఉన్నట్లు వారి మాటలలో ఆప్యాయత నిండియుంటుంది. ఎమీరాని నేను ఏ సందేహమడిగినా అప్పటికప్పుడే అక్కడికక్కడే సమాధానము నిచ్చే ప్రజ్ఞాశాలి ఆయుయన. నీలకంఠా రెడ్డి సలహామేరకు, నేను శాస్త్రిగారిని అడిగిన వెంటనే ‘ధారాళంగా నకలు చేయించి ఆ పుస్తకమును వాడుకోండి. దానివల్ల నాకు ఒక మంచిపని చేసినానన్న తృప్తి మిగులుతుంది’ అన్న ఉదాత్తుడు ఆయన. గణితముతో ఎటువంటి సంబంధము లేకుండానే, అందునా వేదగణితముతో సంపర్కమే లేకుండా వ్యాఖ్యానము ఏ విధముగా వీరు వ్రాసినారన్నది అమితాశ్చర్యము. దీనికి పీఠిక వ్రాసిన వక్తి ఆధునిక కాలములో దిగ్దంతిగా చెప్పుకోదగిన, కుప్పం ద్రావిడ విశ్వవిద్యాలయమునకు ఆది ఉపకులపతి (Vice Chancellor) అయిన శ్రీ P.V. అరుణాచలంగారు. శాస్త్రిగారి గణితజ్ఞతకు ఇది రాజముద్ర.

ఇటువంటి వ్యక్తుల సహాయ, సహకార, సౌజన్యములతో నేను నాకు తోచిన నాలుగు మాటలను వ్రాయగలుగుచున్నాను. వారిరువురికీ మరొక్కసారి కృతజ్ఞతలు తెలుపుకొంటూ అసలు విషయమునకు వస్తాను.

సార సంగ్రహ గణితమును వ్రాసిన పావులూరి మల్లన గారు 11వ శతాబ్దికి చెందినవాడగుటయే గా ఆదికవిగా మనము సంభావించే నన్నయ సమకాలీనుడు, రాజరాజ నరేంద్రుని ఆస్థాన విద్వాంసుడు. అంతేకాక ఆయనతో పీఠాపుర సమీపములోని నవఖండవాడ అన్న అగ్రహారమును బహుమతిగా పొందిన ఈ మహానుభావుడు కమ్మనాడు యందలి బాపట్ల సమీపమున ఉన్న పావులూరు\ ప్రకాశం జిల్లా లోని పావులూరు స్వస్థలముగా కలిగినవాడు.  

దాదాపు 8, లేక 9 శతాబ్దము వాడయిన జైనుడు, గణిత శాస్త్రవేత్త, పండితుడు కవియైన మహావీరాచార్యుయుడు సంస్కృతమున వ్రాసిన ‘గణిత సార సంగ్రహము’ మల్లన గారి రచనకు మాతృక గా చెబుతారు. అసలు మల్లనగారి ఈ గ్రంధము వెలుగులోనికి వచ్చుటకు కారణము అఖండ మేధా సంపన్నులు విమర్శకాగ్రేసరులు అయిన మాన్యవరులు వేటూరి ప్రభాకరశాస్త్రి గారు ఎంతయో కృషి చేసినారు. కొంత తిమ్మా్ఝ్ఝల కోదండరామయ్య గారి కృషి కూడా ఇందున్నది. వారి యోగదానమునకు మనమెంతో ఋణపడియున్నాము.

నిజానికి ఈ గణిత గ్రంధము 10 అధ్యాయములు కలిగిన గ్రంధము. మన అశ్రద్ధ, అలసత్వము, పాశ్చాత్య అనుకరణము, వల్ల నేడు 3 శాఖలు మాత్రమే లభ్యమగుచుండగా, శాస్త్రిగారికి రెండు మాత్రమే లభ్యమైనాయో ఏమో వాటికి వ్యాఖ్యానము సులభాగ్రాహ్యమగు రీతిలో, తన పాండిత్యమునకు గణితముతో సంబంధము లేకున్నా అవలీలగా వ్రాయగలిగిన పుష్కల వాణీవర సంపన్నుడు.

  మల్లన గారు వ్రాసిన ఈగ్రంధమును పరిశీలించినవారికి నన్నయ కాలమునకే ఛందోవ్యాకరణములు వున్నట్లు నాకనిపించిది. అదియును గాక మల్లన మహాశయుడు తన రచనను, ద్రాక్షా, కదళీ పాకముల లోనే వ్రాసినాడు. నన్నయ భారతము యొక్క ప్రౌఢ ఛాయలు ఇందు కనిపించవు. దీనిని బట్టి నన్నయ కాలమునకు ముందు ఒకవేళ కావ్యము లేకపోయినా అట్లుకాక కాయములు ఉండీ అలభ్యమైనా, లేక కావ్యము ఉండికూడా పండిత శ్రేష్ఠుల అభిప్రాయముల వల్ల భారతముకన్నా ముందుది అయి వుండి కూడా మరుగున పడియుండినా, ఛందోవ్యాకరణములు తప్పక ఉండియుండేవని తెలియవచ్చుచున్నది.

ఇక అభిమానముతో నీలకంఠా రెడ్డి పంపిన పొత్తమును చదివిన తరువాత సంకలన వ్యవకలన భాగహార అంశములను, వేదగణిత విధానము ద్వారా మల్లన గారు అందించిన వివరములు వదలి, ఒక పూర్ణ ఘనమూలము అనగా దశాంశములు లేని సంఖ్యను తీసుకొని దశాంశములు రాని దాని ఘన మూలమును  మల్లన్న గారు చెప్పిన రీతిగా నేను మనము చదువుకొనుచున్న విధానమును కలబోసి (In Modern Notation) ఫలితమును తెచ్చిన విధమును మీముందు ఉంచుచున్నాను. అంకిత భావముతో చదివినవారెవరైనా అతిసులభముగా అర్థము చేసుకొనగలరు.

పావులూరి వారి సార సంగ్రహ గణితము లో ఇచ్చిన సమస్య : 77 308 776 కు ఘన మూలమెంత?
ఈ సమస్యను పరిష్కరించుటకు ముందు కొన్ని సూత్రములను తెలుసుకొనవలసి యున్నది. అవి గమనిందాము.
రేపు మొత్తము గమనించుదాము......

పావులూరి వారి సార సంగ్రహ గణితము లో ఇచ్చిన సమస్య : 77 308 776 కు ఘన మూలమెంత?

ఈ సమస్యను పరిష్కరించుటకు ముందు కొన్ని సూత్రములను తెలుసుకొనవలసియున్నది. అవి గమనించుదాము.

Following are the points to remember for speedy calculation of cube roots (of perfect cubes).

The lowest cubes (i.e. the cubes of the first nine natural numbers) are 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512 and 729.

The last digit of the cube root of an exact cube is obvious:

1³ = 1  -> If the last digit of the perfect cube = 1, the last digit of the cube root = 1

2³ = 8 -> If the last digit of the perfect cube = 8, the last digit of the cube root = 2

3³ = 27-> If the last digit of the perfect cube = 7, the last digit of the cube root = 3

4³ = 64->If the last digit of the perfect cube = 4, the last digit of the cube root = 4

5³=125 ->If the last digit of the perfect cube = 5, the last digit of the cube root = 5

6³=216 ->If the last digit of the perfect cube = 6, the last digit of the cube root = 6

7³=343 ->If the last digit of the perfect cube = 3, the last digit of the cube root = 7

8³=512 ->If the last digit of the perfect cube = 2, the last digit of the cube root = 8

9³=729 ->If the last digit of the perfect cube = 9, the last digit of the cube root = 9

In other words,

1, 4, 5, 6, 9 and 0 repeat themselves as last digit of cube.

Cube of 2, 3, 7 and 8 have complements from 10 (e.g. 10's complement of 3 is 7 i.e. 3+7=10) as last digit.

Also consider, that

8's cube ends with 2 and 2's cube ends with 8

7's cube ends with 3 and 3's cube ends with 7

If we observe the properties of numbers, Mathematics becomes very interesting subject and fun to learn. Following same, let’s now see how we can actually find the cube roots of perfect cubes very fast.

గణితమును ఆంగ్లములోనే చదువుతారుకాబట్టి విషయమును ఆంగ్లములోనే ఉంచినాను. అయినా తెలుగులో కూడా తెలియజేస్తాను. 1 నుండి 9 వరకు గల వరుస సంఖ్యల ఘనములు ఈ దిగువ తెల్పిన విధముగా ఉంటాయి:

1³ = 1 

2³ = 8

3³ = 27

4³ = 64

5³=125

6³=216

7³=343 

8³=512

9³=729

ఈ వివరమును ఏవిధముగానైనా మరవకుండా మనసులో మరుగుపరచవలసిందే!

ఇప్పుడు ఒక గుడ్డి గురుతును జ్ఞాపకము ఉంచుకోవాలి.1,4,5,6,9 ని గమనించితే ‘=’ గురుతుకు రెండువైపులా ఉన్న చివరి అంకె మారదు. అంటే ఉదాహరణకు 4ను తీసుకొందాము. 4 యొక్క ఘనము 64. అంటే 4 విషయములో ఘనమూలము చివరి అంకె 4ఏ(నాలుగే) అవుతుంది. దాని ఘనములోని చివరి అంకె కూడా 4ఏ(నాలుగే) అవుతుంది. ఇదే సూత్రము 1,5,6,9 కి కూడా వర్తించుతుంది. ఇక మిగిలిన అంకెలు 2,3,7,8 మాత్రమే. 10 ని base అనుకొంటే 2 కు 8, 3 కు 7 అవుతాయి. అంటే ఘన మూలములో చివరి అంకె 2 అయితే ఘనములో చివరి అంకె 8 అవుతుంది, అంటే ఈ రెండూ  పరిపూరకములౌతాయి (Complementary). అదే ఘన మూలములో చివరి అంకె 8 అయితే ఘనములో చివరి అంకె 2 అవుతుంది, పరిపూరకములు(Complementaries) కాబట్టి. 3,7  విషయములో కూడా ఇదే నీతి వర్తిస్తుంది.

ఇక తరువాతి విషయమునకు వద్దాము.

ముందు ఒక చిన్న ఉదాహరణ తీసుకొందాము.
16³ ను మనసులో వుంచుకొందాము. దాని ఘనము 4096. ఈ 4096 యొక్క ఘనము మనకు తెలియదు అనుకొని ఈ సంఖ్య యొక్క ఘనమూలమును సాధించుదాము.

4096 లో చివరి అంకె 6. కాబట్టి వర్గమూలము లో చివరి అంకె 6 అని నిర్దారించుకొనవచ్చును.

ఇప్పుడు 4096 లో మొదటి అంకెను తీసుకోవాలి. ఈ పద్ధతి ప్రతి నాలుగు అంకెల సంఖ్యకూ వర్తిస్తుంది. చివరి అంకె ఏదయితే అది తీసుకోవాలి (2,3 విషయములో 8,7ను తీసుకొనవలసి ఉంటుంది.) . ఇక్కడ మొదటి అంకె 4.

4 అన్న ఈ అంకె  1³ = 1  మరియు 2³ = 8 మధ్యన వస్తుంది. మనపెపుడూ మనవద్దనున్న అంకె కన్నా చిన్న ఘనమునే తీసుకోవాలి. కాబట్టి మనము తీసుకొవలసినది 1. కాబట్టి ఒకట్ల స్థానములో వున్న 6 ప్రక్కన అనగా పదుల స్థానములో 1ని ఉంచవలె. అపుడు ఆ సంఖ్య 16అవుతుంది. కాబట్టి 4096 కు ఘనమూలము 16. అంతే అదే జవాబు.

మొదట నేను విషయమును విశదముగా చెప్పవలెను కావున విస్తారముగా చెప్పవలసి వచ్చినది. ఒక్కసారి మీరు అర్థము చేసుకోన్నారంటే జవాబును మీరు 5,6 సెకనులలో చెప్పగలరు.

పాఠకులు అలవాటు పడుటకుమరియొక ఉదాహరణ తీసుకొని అసలు సమస్యను చేరుదాము.

ఈ నికర ఘనము (perfect cube) ను తీసుకొందాము.

804 357. మూడు మూడు అంకెలను ఒక బేరిగా ఉంచుకొనవలెను. అంటే 804 357 గా పేర్చితే మన కుడి నుండి ఎడమకు ఎంచినపుడు ముందువచ్చే  357 లో వుండే 7 ను మనము మొదట తీసుకోవాలి. 10ని, పైన చెప్పినట్లు Base గా తీసుకొంటే 7 కు 3, 3, కు 7 Complements అవుతాయి. మనము తీసుకొన్న సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానములో ఉండే 7 కు 3 Complement. కాబట్టి ఘనమూలములోని ఒకట్ల స్థానములో 3 ఉండితీరుతుంది. ఇక రెండవ బేరియైన  804 తీసుకొందాము. మనము గమనించితే ఈ సంఖ్య 9³=729<10³=1000 కి మధ్యన ఉన్నది. కాబట్టి చిన్నదయిన 9³ తీసుకోవలెను. దీని ఘనమూలము 9. ఇక ఈ 9ని 3 ప్రక్కన మన ఎడమవైపు వ్రాస్తే అదే జవాబు. అంటే 93 జవాబు. కావున 93³= 8,04,357. మీరిపుడు సాధారణ హెచ్చింపుతో జవాబు సరిచూసుకోవచ్చు.

ఇప్పుడు మల్లనగారు ఇచ్చిన సమస్యను  తీసుకొందాము. ‘అంకానాం వామతో గతిః’ అన్నది వేద గణిత సూత్రము. అంటే మల్లనగారిచ్చిన సంఖ్య 77308776ను వరుసగా 6,7,7,8,0,3,7,7,అని లెక్కించవలెను. కావున అంకెలను 3,3 ఒక్కొక్క బెరిగా ఏర్పాటు చేసుకొందాము. అంటే మనకిచ్చిన సంఖ్యను ఈ విధముగా వ్రాసుకొంటూ ఉన్నాము.

సమస్య : 77308776 కు ఘన మూలమెంత?

ఇప్పుడు ఇచ్చిన సంఖ్యను 77 308 776 గా వ్రాసుకొన్నాము. చివరిదైన 77కు తోడు మూడవ అంకె లేదు. వదిలేద్దాము. 77 మాత్రామే మూడవ బేరిగా తీసుకొందాము.

77 308 776 -> మొదటి 3 అయిన 776 లో 6 కు 6 Complement అవుతుంది. కావున మనము ఘన మూలములో ఒకట్ల స్థానమును సాధించినాము. ఇక చివరి సంఖ్య అంటే 77 కు పోతాము.

 4³ = 64 < 77 < 5³=125. కాబట్టి ఘన మూలములోని చివరి సంఖ్య 4(పైన రెండు ఉదాహరణలు సాధించినాము). అంటే ఘన మూలము  4 _ 6 మొదటి చివరి అంకెలుగా కలిగి యుంటుంది. ఇప్పుడు మన బాధ్యత మధ్య అంకె కనుగొనుట.

ఇచ్చిన సంఖ్యను 3 భాగములుగా విభాజించినాము కదా! మొదటిది F (First) అనుకొందాము. రెండవది S (Second) అనుకొందాము. మూడవది T (Third) అనుకొందాము.

అప్పుడు 77308776 ను

F    S      T

77  308   776 గా వ్రాసుకొనవచ్చును. T³= 6³ (చివరి అంకె మాత్రమే) = 216. ఇప్పుడు T-T³ = 776- 216= 560 (0 ను గ్రహించ రాదు.) 56 లో కూడా మనకు కుడివైపున వుండే 6 ను తీసుకోవాలి.

ఇప్పుడు 3T²S (ఈ సూత్రమును ఎల్లపుడూ  గుర్తుంచుకోవాలి)= 3 x 6² x S -> 6 (ఈ 6, 56 లోని 6)

అంటే 108 S లో చివరి అంకె 8. ఇప్పుడు 8 వ ఎక్కమును ఏకరువు పెడితే 8x2=16 మరియు 8x7=56

రెంటిలోనూ చివరి సంఖ్య 6 వస్తుంది.కాబట్టి 77308776 యొక్క ఘనమూలములో మొదటి అంకె 4 మరియు చివరి అంకె 6 మరియు నడుమ అంకె 2 లేక 7 అయి ఉండాలి.

ఇపుడు 2,7 లలో సరియైనది ఏది అన్నది కనుగొందాము.

ఇచ్చిన సంఖ్య యగు 77308776 లోని అన్ని అంకెలనూ కూడుదాము. +7+3+0+8+7+7+6=45=9*

F    S     T

4  (2,7)   6

ఇప్పుడు మొదట 2ను తరువాత 7ను తీసుకొని సరియైన జవాబుకు ప్రయత్నిద్దాము.

 426  4+2+6= 12=1+2=3, ఇపుడు 3³ = 27= 2+7=9*

ఇక 476 ప్రయత్నిద్దాము. 4+7+6=17=1+7=8; 8³=512 , 5+1+2= 8 ≠ 9

కాబట్టి మల్లనగారిచ్చిన సంఖ్యకు ఘన మూలము 426. ఇపుడు కావాలనుకొంటే Calculator ద్వారా సరిచూసుకోవచ్చు.  

∴426³= 77308776

ఈవిధానమంతా పావులూరి మల్లనగారు చెప్పినదే! నేను ఆయన తెలిపిన పేర్లను నేటి చదువరుల సౌలభ్యము కొరకు Modern Notation వాడినాను.

సాధన చేయుమురా నరుడా సాధ్యము కానిది లేదురా అన్నది పెద్దల మాట.  అర్థమయితే అంతా చేయుటకు అర నిముసము కూడా పట్టదు.

స్వస్తి.