పావులూరి
వారి సార సంగ్రహ గణితము లో ఇచ్చిన సమస్య : 77 308 776 కు ఘన మూలమెంత?
ఈ సమస్యను పరిష్కరించుటకు ముందు కొన్ని సూత్రములను తెలుసుకొనవలసి యున్నది. అవి గమనిందాము.
రేపు మొత్తము గమనించుదాము......
పావులూరి
వారి సార సంగ్రహ గణితము లో ఇచ్చిన సమస్య : 77 308 776 కు ఘన మూలమెంత?
ఈ సమస్యను
పరిష్కరించుటకు ముందు కొన్ని సూత్రములను తెలుసుకొనవలసియున్నది. అవి గమనించుదాము.
Following
are the points to remember for speedy calculation of cube roots (of perfect
cubes).
The lowest cubes (i.e.
the cubes of the first nine natural numbers) are 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512 and 729.
The last digit of the
cube root of an exact cube is obvious:
1³ = 1 -> If the last digit of the perfect cube =
1, the last digit of the
cube root = 1
2³ = 8 -> If the last
digit of the perfect cube = 8, the last digit of the cube root = 2
3³ = 27-> If the last digit
of the perfect cube = 7, the last digit of the cube root = 3
4³ = 64->If the last digit
of the perfect cube = 4, the last digit of the cube root = 4
5³=125 ->If the last digit
of the perfect cube = 5, the last digit of the cube root = 5
6³=216 ->If the last digit
of the perfect cube = 6, the last digit of the cube root = 6
7³=343 ->If the last digit
of the perfect cube = 3, the last digit of the cube root = 7
8³=512 ->If the last digit
of the perfect cube = 2, the last digit of the cube root = 8
9³=729 ->If the last digit of the perfect cube = 9, the last digit of the cube root = 9
In other words,
1, 4, 5, 6, 9 and 0 repeat themselves as last digit of cube.
Cube of 2, 3, 7 and 8 have complements from 10 (e.g. 10's complement of 3 is 7 i.e. 3+7=10) as last digit.
Also consider, that
8's cube ends with 2 and 2's cube ends with 8
7's cube ends with 3 and 3's cube ends with 7
If we observe the
properties of numbers, Mathematics becomes very interesting subject and fun to
learn. Following same, let’s now see how we can actually find the cube roots of
perfect cubes very fast.
గణితమును ఆంగ్లములోనే చదువుతారుకాబట్టి విషయమును
ఆంగ్లములోనే ఉంచినాను. అయినా తెలుగులో కూడా తెలియజేస్తాను. 1 నుండి 9 వరకు గల వరుస
సంఖ్యల ఘనములు ఈ దిగువ తెల్పిన విధముగా ఉంటాయి:
1³ = 1
2³ = 8
3³ = 27
4³ = 64
5³=125
6³=216
7³=343
8³=512
9³=729
ఈ వివరమును ఏవిధముగానైనా మరవకుండా మనసులో
మరుగుపరచవలసిందే!
ఇప్పుడు ఒక గుడ్డి గురుతును జ్ఞాపకము
ఉంచుకోవాలి.1,4,5,6,9 ని గమనించితే ‘=’ గురుతుకు రెండువైపులా ఉన్న చివరి అంకె మారదు. అంటే ఉదాహరణకు 4ను
తీసుకొందాము. 4 యొక్క ఘనము 64. అంటే 4 విషయములో ఘనమూలము చివరి అంకె 4ఏ(నాలుగే)
అవుతుంది. దాని ఘనములోని చివరి అంకె కూడా 4ఏ(నాలుగే) అవుతుంది. ఇదే సూత్రము
1,5,6,9 కి కూడా వర్తించుతుంది. ఇక మిగిలిన అంకెలు 2,3,7,8 మాత్రమే. 10 ని base
అనుకొంటే 2 కు 8, 3 కు 7 అవుతాయి. అంటే ఘన మూలములో చివరి అంకె 2 అయితే ఘనములో
చివరి అంకె 8 అవుతుంది, అంటే ఈ రెండూ పరిపూరకములౌతాయి
(Complementary). అదే ఘన మూలములో చివరి అంకె 8 అయితే ఘనములో చివరి అంకె 2 అవుతుంది,
పరిపూరకములు(Complementaries) కాబట్టి. 3,7 విషయములో కూడా ఇదే నీతి వర్తిస్తుంది.
ఇక తరువాతి విషయమునకు వద్దాము.
ముందు ఒక చిన్న ఉదాహరణ తీసుకొందాము.
16³ ను మనసులో
వుంచుకొందాము. దాని ఘనము 4096. ఈ 4096 యొక్క ఘనము మనకు తెలియదు అనుకొని ఈ సంఖ్య
యొక్క ఘనమూలమును సాధించుదాము.
4096
లో చివరి అంకె 6. కాబట్టి వర్గమూలము లో చివరి అంకె 6 అని నిర్దారించుకొనవచ్చును.
ఇప్పుడు
4096 లో మొదటి అంకెను తీసుకోవాలి. ఈ పద్ధతి ప్రతి నాలుగు అంకెల సంఖ్యకూ
వర్తిస్తుంది. చివరి అంకె ఏదయితే అది తీసుకోవాలి (2,3 విషయములో 8,7ను తీసుకొనవలసి
ఉంటుంది.) . ఇక్కడ మొదటి అంకె 4.
4 అన్న ఈ అంకె 1³ = 1 మరియు 2³ = 8 మధ్యన వస్తుంది. మనపెపుడూ మనవద్దనున్న అంకె
కన్నా చిన్న ఘనమునే తీసుకోవాలి. కాబట్టి మనము తీసుకొవలసినది 1. కాబట్టి ఒకట్ల
స్థానములో వున్న 6 ప్రక్కన అనగా పదుల స్థానములో 1ని ఉంచవలె. అపుడు ఆ సంఖ్య
16అవుతుంది. కాబట్టి 4096 కు ఘనమూలము 16.
అంతే అదే జవాబు.
మొదట నేను విషయమును విశదముగా చెప్పవలెను కావున
విస్తారముగా చెప్పవలసి వచ్చినది. ఒక్కసారి మీరు అర్థము చేసుకోన్నారంటే జవాబును
మీరు 5,6 సెకనులలో చెప్పగలరు.
పాఠకులు అలవాటు పడుటకుమరియొక ఉదాహరణ తీసుకొని అసలు
సమస్యను చేరుదాము.
ఈ నికర ఘనము (perfect cube) ను
తీసుకొందాము.
804
357. మూడు మూడు అంకెలను ఒక బేరిగా ఉంచుకొనవలెను. అంటే 804 357 గా పేర్చితే మన కుడి
నుండి ఎడమకు ఎంచినపుడు ముందువచ్చే 357 లో
వుండే 7 ను మనము మొదట తీసుకోవాలి. 10ని, పైన చెప్పినట్లు Base గా తీసుకొంటే 7 కు
3, 3, కు 7 Complements అవుతాయి. మనము తీసుకొన్న సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానములో ఉండే 7
కు 3 Complement. కాబట్టి ఘనమూలములోని ఒకట్ల స్థానములో 3 ఉండితీరుతుంది. ఇక రెండవ
బేరియైన 804 తీసుకొందాము. మనము గమనించితే
ఈ సంఖ్య 9³=729<10³=1000 కి మధ్యన ఉన్నది. కాబట్టి
చిన్నదయిన 9³
తీసుకోవలెను. దీని ఘనమూలము 9. ఇక ఈ 9ని 3 ప్రక్కన మన ఎడమవైపు వ్రాస్తే అదే జవాబు.
అంటే 93 జవాబు. కావున 93³= 8,04,357.
మీరిపుడు సాధారణ హెచ్చింపుతో జవాబు సరిచూసుకోవచ్చు.
ఇప్పుడు
మల్లనగారు ఇచ్చిన సమస్యను తీసుకొందాము.
‘అంకానాం వామతో గతిః’ అన్నది వేద గణిత సూత్రము. అంటే మల్లనగారిచ్చిన సంఖ్య 77308776ను
వరుసగా 6,7,7,8,0,3,7,7,అని లెక్కించవలెను. కావున అంకెలను 3,3 ఒక్కొక్క బెరిగా
ఏర్పాటు చేసుకొందాము. అంటే మనకిచ్చిన సంఖ్యను ఈ విధముగా వ్రాసుకొంటూ ఉన్నాము.
సమస్య
: 77308776 కు ఘన మూలమెంత?
ఇప్పుడు
ఇచ్చిన సంఖ్యను 77 308 776 గా వ్రాసుకొన్నాము. చివరిదైన 77కు తోడు మూడవ అంకె లేదు.
వదిలేద్దాము.
77 మాత్రామే మూడవ బేరిగా తీసుకొందాము.
77 308 776 -> మొదటి 3 అయిన 776 లో 6 కు 6 Complement అవుతుంది. కావున
మనము ఘన మూలములో ఒకట్ల స్థానమును సాధించినాము. ఇక చివరి సంఖ్య అంటే 77 కు పోతాము.
4³ = 64 < 77 < 5³=125. కాబట్టి
ఘన మూలములోని చివరి సంఖ్య 4(పైన రెండు ఉదాహరణలు సాధించినాము). అంటే ఘన మూలము 4 _ 6 మొదటి
చివరి అంకెలుగా కలిగి యుంటుంది. ఇప్పుడు మన బాధ్యత మధ్య అంకె కనుగొనుట.
ఇచ్చిన సంఖ్యను 3 భాగములుగా విభాజించినాము కదా!
మొదటిది F (First) అనుకొందాము. రెండవది S (Second) అనుకొందాము. మూడవది T (Third)
అనుకొందాము.
అప్పుడు 77308776 ను
F S
T
77 308 776 గా వ్రాసుకొనవచ్చును.
T³= 6³ (చివరి అంకె మాత్రమే) = 216. ఇప్పుడు T-T³ = 776- 216= 560 (0 ను
గ్రహించ రాదు.) 56 లో కూడా మనకు కుడివైపున వుండే 6 ను తీసుకోవాలి.
ఇప్పుడు 3T²S (ఈ సూత్రమును ఎల్లపుడూ గుర్తుంచుకోవాలి)=
3 x 6² x S -> 6 (ఈ
6, 56 లోని 6)
అంటే 108 S లో చివరి అంకె 8. ఇప్పుడు 8 వ ఎక్కమును
ఏకరువు పెడితే 8x2=16 మరియు 8x7=56
రెంటిలోనూ చివరి సంఖ్య 6 వస్తుంది.కాబట్టి 77308776 యొక్క ఘనమూలములో మొదటి అంకె 4 మరియు చివరి అంకె 6 మరియు నడుమ అంకె 2 లేక
7 అయి ఉండాలి.
ఇపుడు 2,7 లలో సరియైనది ఏది అన్నది కనుగొందాము.
ఇచ్చిన సంఖ్య యగు 77308776 లోని అన్ని అంకెలనూ కూడుదాము. +7+3+0+8+7+7+6=45=9*
F S T
4 (2,7) 6
ఇప్పుడు మొదట 2ను తరువాత 7ను తీసుకొని సరియైన జవాబుకు
ప్రయత్నిద్దాము.
426 4+2+6= 12=1+2=3, ఇపుడు 3³ = 27= 2+7=9*
ఇక
476 ప్రయత్నిద్దాము. 4+7+6=17=1+7=8; 8³=512 , 5+1+2= 8 ≠ 9
కాబట్టి మల్లనగారిచ్చిన సంఖ్యకు ఘన మూలము 426. ఇపుడు
కావాలనుకొంటే Calculator ద్వారా సరిచూసుకోవచ్చు.
∴426³= 77308776
ఈవిధానమంతా పావులూరి మల్లనగారు చెప్పినదే! నేను ఆయన
తెలిపిన పేర్లను నేటి చదువరుల సౌలభ్యము కొరకు Modern Notation వాడినాను.
సాధన చేయుమురా నరుడా సాధ్యము కానిది లేదురా అన్నది పెద్దల
మాట. అర్థమయితే అంతా చేయుటకు అర నిముసము కూడా
పట్టదు.
స్వస్తి.